Godelov teorem je jedna z najpozoruhodnejsich matematickych (resp. logickych) viet Vysvetlit, to co Hofstadterovi zabralo celu fantasticku knihu Godel, Escher, Bach v kratkom clanku tak, aby to pochopil kazdy je asi nemozne, ale za pokus to stoji. Enjoy this metamathical trip into sphere of unknown.:::p> Heisenbergov princíp neurcitosti, Einsteinova teória relativity a Godelov teorém o neodvoditených vlastnostiach formálnych systémov sú 3 vedecké "objavy" ktoré najviac ovplyvnili myslenie a vedu 20.storocia, píse v svojej fascinujúcej knihe Godel, Escher, Bach odborník na umelú inteligenciu a v oblasti kognitívnych vied Douglas Hofstadter. Zatial co sa vsak vety ako "vsetko je relatívne" a "akt pozorovania mení výsledok pozorovania" stali uz de facto súcastou frazeologického slovníka, Godelov teorém je mimo vedeckej obce takmer neznámy. Na prvý pohlad sa naozaj jedná o velmi tazko uchopitelný koncept, za ktorým vsak stojí nádherne jednoduchá myslienka ktorú sa pokúsim v tomto texte objasnit.

Co je to pravda? Ako odlísit pravdivé tvrdenie od tvrdenia nepravdivého? Zabudnime teraz nachvílu na kazdodenné aspekty tejto otázky a zamerajme sa na matematickú pravdu. Uz od cias antického Grécka sa matematici a logici snazili zistit ktoré výroky sú pravdivé - a teda môzu byt povazované za vetu (teorém ) a ktoré nie. Avsak az v posledných dvoch storociach boli dosiahnuté ozajstné pokroky najmä vdaka tzv. formálnej logike.

Základom formálnej logiky je formálny systém. Predstavme si, ze máme urcitú mnozinu symbolov pomocou ktorých môzme daný výrok napísat. Napr. symbol + reprezentuje operáciu scítania, E (resp. existencný kvantifikátor) znamená "existuje .... pre ktoré platí", A (resp. univerzálny kvantifikátor) znamená " pre vsetky .... platí". Taktiez môzme vyuzívat aj logické symboly ako &-A, v-alebo, <=> iba ak, ~ negácia, a lubovolné mnozstvo premenných ktoré si môzme oznacit ako x,y,z, resp. x' y' z', x'' y'' z'' atd.
Z týchto symbolov máme zostavené axiómy - základné kamene formálneho systému. Axiómy sú ZJAVNÉ pravdy ktoré uz nieje nutné dalej dokazovat ako napr. Aa:(a+0)=a - pre vsetky a platí, e a plus nula je rovné a, alebo Aa:(a.0)=0. Vo formálnom systéme máme k dispozícii aj tzv. procedurálne pravidlá - co sú vlastne pravidlá ktoré nám hovoria ako z jedného pravdivého výroku vytvorit iný pravdivý výrok - napr. ak je výrok P pravdivý, potom aj negácia jeho negácie je pravdivá - ~~P=P alebo ak výroky r=s a s=t sú pravdivé, potom aj výrok r=t je pravdivý. Tieto pravidlá sú taktiez evidentné, sú proste súacstou sveta v ktorom zijeme, alebo ich tak aspon vnímame. Za hranicami axiómov uz zostáva len viera v ich nespochybnitenost, pravdaze ludská mysel môze íst este dalej a môzete pochybovat o ich pravdivosti, v lepsom prípade objavíte celú novú matematickú teóriu (to sa stalo s Euklidovou geometriou po znegovaní axiómu o rovnobezkách), nuz a v horsom prípade rozsírite uz beztak siroké rady matematikov s psychickou poruchou.

A tak pomocou procedurálnych pravidiel môzme z jednotlivých axiómov získat pravdivé resp. nepravdivé vety, ktoré môzme následovne taktiez kombinovat podla procedurálnych pravidiel do stále nových a nových viet. Celé odvodenie matematického teorému z pár základných axiómov sa nazýva dôkaz. Bolo by to naozaj velmi príjemné, nielen pre matematikov, keby sa podarilo vytvorit formálny systém z ktorého by sa nielene dala odvodit pravdivost alebo nepravdivost lubovolného matematického tvrdenia , ale dokonca by sa v rámci tejto schémy dalo dokázat ze tento systém je bez akéhokolvek sporu. K vytvoreniu takéhoto systému vyzval matematikov anglican David Hilbert , pokúsili sa o to napr. Russell s Whiteheadom v ich slávnom diele Principia Mathematica. Ale márna bola ich snaha pretoze v roku 1931 25 rocný rakúsan Kurt Godel v krátkom texte nazvanom "O formálne nerozhodnutelných vlastnostiach formálnych systémov" rozdrtil Hilbertov program na prach a ukázal ze úplná pravda bude vzdy mimo ludského chápania.

Jedna cast Godelovho teorému je komplikovaná a jej vysvetlenie by zabralo aj celú knihu. V podstate sa jedná o to, ze Godel ukázal ze vsetky matematické vety sa dajú zoradit a teda aj ocíslovat a následne proces samotného dokazovania nieje nic iné ako aritmetická operácia. Predstavme si ze máme zoradené a ocíslované vsetky matematické vety s jednou premennou w, potom kazdej tejto vete P je priradené císlo n (jej poradie). Máme vlastne výrok Pn(w) ktorý , ak je syntakticky správne zostavený, nám nirco vraví o vztahu císel n a w. Taktiez aj vsetky dôkazy - teda vety a pravidlá vedúce k vytvoreniu danej vety sa dajú ocíslovat, a kazdému z nich môzme priradit císlo n takze Tn nám oznací konkrétny n-tý dôkaz poda nasej zoradovacej schémy ( toto konkrétne zoradenie a ocíslovanie bolo najtazsou castou Godelovej vety, a moje vysvetlenie je velmi ale velmi nepresné ale pre pochopenie základnej myslienky postacuje ).

Môzme teda zostavit vetu : ~Ex [ Tx dokazuje Pw(w) ] - "Neexistuje x, také, e Tx dokazuje Pw(w)." Táto veta je naozaj korektne formulovanou vetou, kedze, ako som uz napísal, vdaka Godelovmu císlovaniu je operácia dokázania aritmetickou operáciou ktorá sa dá vyjadrit v kazdom formálnom systéme ktorý aritmetické operácie umznouje (napr. standartná teória císel, a vsetky komplexnejsie formálne systémy ). Takze táto veta nám vraví ze veta Pw(w) sa nedá dokázat. Kedze sme vlastne pomocou existencného kvantifikátora "neexistuje" odstránili x, máme výrok o jednej premennej w. Kedze máme zoradené a ocíslované vsetky matematické vety o jednej premennej , aj tejto nasej vete "Neexistuje také x, ze Tx dokazuje Pw(w)" môme priradit císlo k, takze vlastne Pk(w) = ~Ex [ Tx dokazuje Pw(w) ] .

A teraz prichádza na rad druhá cast Godelovej úzasnej myslienky. Preskúmajme túto výrokovú funkciu pre specifickú hodnotu premennej w = k. Získame vetu ~Ex [ Tx dokazuje Pk(k) ] = Pk(k) .
Výrok Pk(k) znie "Neexistuje x také, ze Tx dokazuje výrok Pk(k)". Má táto veta dôkaz v rámci násho formálneho systému ? Má jej negácia dôkaz? Odpoved na obe otázky je "nie". Pokial by totiz daný dôkaz existoval, veta by bola pravdivá a hovorila by nám ze ziadny dôkaz nemá, co by vsak znamenalo ze sme zle vystavali nás formálny systém lebo umoznuje dokázat nepravdivé tvrdenia. Takze jediná alternatíva je taká, ze naozaj neexistuje ziadny dôkaz výroku Pk(k). A to je predsa presne to, co nám táto veta hovorí a preto je pravdivá, takze sme nasli pravdivý výrok mimo násho formálneho systému ! A co negácia ~Pk(k) ? Kedze Pk(k) je pravdivý výrok, jeho negácia, výrok Pk(k) "Existuje x také, ze Tx dokazuje Pk(k) " je nepravdivá ! Avsak v nasom formálnom systéme predsa nemôzeme dokázat nepravdivé tvrdenia a preto Pk(k) aj jej negácia lezia mimo nás formálny systém !

Vetu Pk(k) resp. jej negáciu môzme dosadit ako dalsí axióm do rozzíreného formálneho systému, ale toto nás problém nevyriesi pretoze aj v tomto formálnom systéme (s úplne inými vlastnostami, môzme dospiet k tzv. mnozine supernatural - nadprirodzených císel, co uz je vsak na tento clánok silná káva )dospejeme podobným uvazovaním k podobnému výroku Pl(l), a to isté sa nám stane aj vo formálnom systéme do ktorého sme za axióm dosadili negáciu Pk(k). K comu Godel vlastne dospel ? Dospel k tomu ez kazdý formálny systém v ktorom sa dajú opísat základné aritmetické operácie , teda uz napr. velmi jednoduchá teória císel, je nekompletný, existuje mnozstvo pravdivých výrokov ktoré sú proste nedokázatelné !!

Smutná správa ? Pre presvedceného matematického formalistu urcite, ale inac to ani tak smutná správa byt nemusí. Uz len to, ze Godel dospel k tomuto teorému nieco vypovedá o podstate ludského vedomia. Keby bol ludský mozog len deterministický systém dodrzujúci isté algorytmy a formálne pravidlá, Godel by proste k tejto vete nikdy nemohol dospiet. Dospel k nej, pretoze clovek má schopnost rozmýlat nielen v rámci formálneho systému ale má taktiez schopnost íst vyssie, íst meta (meta meta, meta meta meta ad infinitum ), uvazovat a argumentovat mimo akýkolvek formálny systém. Taktiez vieme, ze koncept matematickej pravdy je ovela ovela sirsi ako akýlkovek formalizmus. Ako keby mal nakoniec Platón pravdu a tam niekde bol svet matematických ideí , prekrásny a nekonecný, ktorého my vzdy uvidíme len matný tien.