Platónské pojetí geometrie

V textu Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci který je součástí souborného vydání Rozprav z geometrií se autor Petr Vopěnka snaží objasnit základní koncepty platónského pojetí geometrie. Na pomoc si kromě díla Platónova bere i Eukleidovy Základy a místami také pytagorejský pohled na svět. Je však vhodné ihned ze začátku říci že v textu se vyskytují světy hned tři - a to nejenom reálný svět, ale i svět geometrický a svět idejí - všechny tři jsou neodmyslitelnou složkou celku bytí.

První sekce textu jsou věnovány hlavně poslednímu z nich - světu idejí. Aby bylo vůbec možno o světu idejí mluvit, je nutno nejprve říci jako tuto ideu spoznáme - "idea musí být proevidovatelná". Blíže je poté určeno "proevidovatelný je takový jev, který jsme schopni evidovat bez jakýchkoliv předchozích znalostí a evidencí" a na příkladu nečervenosti, jež není proevidovatelná, a červenosti, jež proevidovatelná je jasně ukázáno co idejí je, a co jí není. Evidovat nějakou ideu musí každý sám, může být k takové evidenci doveden "připomínáním" až si na ní "vzpomene", ideje jsou totiž stálé, nemenné a nadčasové - "idea může ztratit název, může být zapomenuta, nemůže však ztratit své bytí". Svět idejí je v platónském pojetí nejvyšším z oněch tří světů, je reálnému i geometrickému světu nadřazen.

Co se týče vztahů mezi idejemi v jejich světě, jediným možným vztahem je "účast jedné ideje na druhé ideji" - např. idea kružnice je bližším určením ideje křivosti. Ideje jsou tedy touto vzájemnou účastí částečně hierarchicky seřazeny - částečně proto, že např. přímost a křivost ve vztahu účasti nespočívají - a na vrcholu podle Platónova Faidra spočívá ide dobra - "přitom dobro zde chápeme ve smyslu je to dobře uděláno, tedy jako protipól špatnosti, nikoliv zla". Je nutno dodat že je tedy jasné že je to právě dobro , jež je proevidováno, nikoliv špatnost.

Tak jako ideje patří do světa idejí, tak geometrické objekty patří do geometrického světa. Právě díky těmto objektům můžeme nahlížet na ideje, geometrické objekty jsou vlastně prostředníkem mezi námi a světem idejí, ale hned je nutné dodat že je to vazba oboustranná a tak právě idejemi, na nichž má účast může být geometrický objekt určen. Také reálné objekty jsou určeny idejemi, na nichž mají účast, avšak přítomnost idejí je v nich jaksi zatemněná něčím co je nazýváno látkou, a látka je chápána jako nečistota pokrývající reálné objekty. V platónském pojetí je ideální "právě takový objekt, který je čistý, to jest nezatížený látkou".

Problém toho co je vlastně pravda je pomocí idejí elegantně vyřešen – „poukazujíce na pravdu, poukazujeme na účast jedné ideje na druhé“. Je však nutno hned dodat že pravda není obsažena v naší výpovědi, „výpovědí dáváme pouze najevo, že jsme se k určité pravdě dobrali a poukazujeme na ní“. Všechny „naše výpovědi o pravdách tudíž nejsou ničím lepším, než smluvenými výkřiky“ kterými druhému možná pomáháme na cestě evidence, evidovat pravdu však musí každý sám. Pravda dlí ve světě idejí a ne ve slovech, a tak je také neměnná a věčná, „je stále na svém místě a my se k ní dobíráme tím způsobem, že odstraňujeme všechno, co nám ji zakrývá“. A když se nám k ní podaří prodrat „clonou prázdnoty“, v plném zaujetí zjiš?ujeme, že se vlastně zmocnila ona nás, a ne my jí.

Opravdovým věděním je podle takovéto interpretace „jen znalost trvalých poznatků“, tj. poznatků které se týkají čisté, neměnné a nezvratné pravdy. „Umístěním pravdy do světa idejí stanovila Platónova filosofie vědě předmět jejího studia“ a tímto „předmětem pro všechny vědy“ není nic jiného než svět idejí. Speciální místo zastává v takto chápané vědě věda geometrická, protože při odkrývání geometrických pravd pracuje s geometrickými objekty které nejsou zatíženy látkou ani v nich není přítomno tolko idejí jako v objektech reálných. Geometrii, protože je tak blízká světu idejí se podařilo vypracovat postupy jak se vůbec pravdy odkrývají a je to proto právě geometrie která ukázala že věda je vůbec možná .

Za nejvyšší geometrické ideje je považován tvar a velikost – jinak řečeno k tomu aby mohla být idea považována za geometrickou musí být přítomna v geometrických objektech a navíc v ní musí být přítomna idea tvaru nebo velikosti.Veličiny délky nejsou idejemi – nejsou proevidovatelné protože je zjevné že určitou délku můžeme evidovat jen na určité úsečce, tj. délka je určena úsečkou a ne naopak. Veličiny tudíž náleží do onoho prostředního – geometrického - světa mezi světem idejí a reálním světem. Avšak některé poměry mezi těmito délkami už ideami jsou – „můžeme je držet v naprosté určitosti i když sme samotné tyto veličiny již ztratili“. Takovými ideálními poměry jsou podle Vopěnku nejen poměry vyskytující se mezi přirozenými čísly, ale i poměr délky uhlopříčky a strany čtverce nebo jeho veličenstvo zlatý řez. Takto chápané poměry mají účast na idejí velikosti „nebo? jeden poměr může být větší než druhý“. Na ideji velikosti má účast také idea úhlu, na rozdíl od délek úseček však některé velikosti úhlů jsou idejemi – např. pravý ůhel. Toto správně pochopil Eukleides a tak jeho štvrtý postulát praví „všechny pravé ůhly jsou si navzájem rovny“. Co se týče idejí jež mají účast na ideji tvaru se Vopěnka soustřeďuje zejména na ideu přímosti a krivosti , na rozdíl od přímosti je však v ideji křivosti přítomna i idea velikosti. Jistotně se tedy dá říci „ze dvou kružnic je více křivá ta, která má menší poloměr“. V tomto zmyslu je kružnice je pro ideu křivosti tím, co úsečka pro ideu délky. V prostorové geometrii je přítomná i idea kroucení – flexe a torze – její platónský výklad je však značně složitý a proto byla jádrem antické geometrie planimetrie.

Platónova geometrie rozšiřuje pythagorejský ideál krásy a dokonalosti - geometrický objekt je v ní tím dokonalejší, „čím lépe můžeme skrze něj nahlédnout k idejím co možná nejvyšším“. Čím je objekt dokonalejší, tím je také krásnější – protože čím průzračněji máme před sebou ideje „předestřeny“ , tím více je v objektech zjevné to „nadnebeské“. Tak je možno říci že čtveřec je dokonalejší než obdélník nebo? ve čtverci je neurčitá pouze délka jedné strany.Z hlediska tvaru jsou dokonalejší takové objekty v nichž je přítomná jen jedna z idejí křivosti a přímosti a v případě křivosti jen v jediné velikosti. „Nejdokonalejším geometrickým objektem je bod“ v němž je přítomná jak idea tvaru – ne však jako přímost nebo křivost - tak velikosti – ne však jako veličina. Z poměrů je ze všech nejkrásnějši jeho veličenstvo zlatý řez – sám o sobě je bližším určením ideje poměru , avšak, a toto je to podstatné – „sám je určen jen touto ideou nejjednodušším ze všech způsobů“.

V objektu však neevidujeme jenom jednotlivé dílčí ideje ale také „úhrnnou ideu“ – „je to idea úhrnu všeho určitého , co je v tomto objektu přítomno, je to idea zachycující veškerou určitost celku“. Celek je chápán jako skloubení svých podrobností. Úhrná idea je zcela určitá – vždy? je ideou – je celkem všeho určitého co je v objektu přítomno. Každá v objektu přítomna idea je přítomná i v jeho úhrné ideji , proto „úhrná idea je nejnižší idea, která je v tomto objektu přítomná“. Tvrdím – úhrná idea je výslednicí – vektorovým součtem idejí které jsou v ní přítomny.

Po takovémto vymezení základních pojmú přistupuje Vopěnka k návodům využitelným v životné – zejména ve vědecké, technické a umělecké PRAXIS. Když chceme evidovat nějaké geometrické pravdy, musíme nejdříve vidět – musíme nějaký objekt „vynořit z prázdnoty“. Motiv vynořování z prázdnoty je v celém textu velice silný , prázdnota je v jeho závěru textu blíže určena jako překážka „kterou musíme odstranit při naší cestě za geometrickými objekty, při naší cestě za pravdou“. Ono „vynořování“ obvykle provádíme se záměrem dosáhnout určitého předem stanoveného cíle – ne každý cíl však umíme dosáhnout.

„Nemáme žádne záruky, že to, co eviduje jeden, bude schopen evidovat i druhý. Nemáme je však ani v reálném světě. Je tomu prostě tak ,že někdo vidí lépe – a někdo hůř. Jediné, co se v tomto směru dá podnikat je snažit se vidět dobře“. Po přečtení tohoto krátkého textu snad vidím o něco lépe. V míči, v Slunci, v kolesu všude začínám cítit “návrat stejného”, to společné.
A co z toho platí pro mne jako člověka z masa a kostí?
Měl bych se podívat na obrázky z lidské anatomie, na nich je totiž podle Vopěnku zobrazen ideální člověk.

Využiteľné v životnej PRAXIS:
Prítomnos? nejakej ideje v danom geometrickom objekte , teda tiež v jeho úhrnnej ideji, evidujeme cestou podla priamych pokynov, pokiaľ sa k tejto evidenci dopracujeme krok za krokom vždy podla nejakého priameho pokynu vychádzajúc z právd ktoré sme evidovali už před započatím tejto cesty. Pričom počas celej tejto cesty zostávame stále len na danom objekte , to znamená že tento objekt nijak nedoplňujeme. Ide teda o konečnú kombinatorickú záležitos?, inými slovami vyhľadávanie právd k evidencii by bolo možné uskutočňova? takmer bezmyšlienkovite, tak ako vyhľadávanie kníh v knižnici. Takto získáné pravdy sú teda triviálne evidovateľné.

Otázka na zamyslenie: Ak platí že práca s reálnými objektami je problematická preto, že sú za?ažené látkou a je v nich prítomno množstvo idejí, nedá sa „látka“ redukova? iba na - pre naše chápanie príliš komplikovanú - zmes „idejí“ ?
(Schrodringerova rovnica tomu nasvedčuje)