Jeden večer sa nám na IRC id soc zveril s tým, že rieši akúsi úlohu o rezaní gule. Popýtal som sa na ňu a pripadala mi zaujímavá, tak o tom píšem článoček.

Máme guľu a nejaké (prirodzené) číslo n. Túto guľu máme rozrezať n rezmi tak, aby rezné roviny prebiehali stredom gule.
Otázka: Na koľko najmenej a koľko najviac častí sa dá guľa takto rozrezať?

O chvíľu sme všetci kreslili gule po papieri (soc dokonca nakopol blender) a tak nejako sme hádali, že snáď to môže byť čosi medzi 2n (poludníkové delenie) a 2ⁿ (keby sme vedeli vždy preťať všetky diely).

Zistil som ale, že kreslením obrázkov asi cesta nevedie a zaslúži si to hlbší náhľad. Tak som začal nahliadať a nahliadal som a nahliadal, až som vypotil nejaké výsledky spolu s teóriou, ktorá ich generovala. Tá sedí s triviálnymi prípadmi (pre 1, 2, 3 rezy) a mohla by aj ďalej, snáď som nespravil niekde chybu a neprehliadol nejaký zádrheľ.

Na ilustráciu -- guľa sa štyrmi rezmi dá rozrezať napríklad takto (na prvom obrázku je 14 častí, na druhom iba 8):



Intuitívne vidno, že ak guľu režeme podľa poludníkov, tak ju rozrežeme na menší počet dielov, než keď rezy vedieme tak, aby ostatné pretínali čo najviac (tj. aby neprechádzali už existujúcimi priesečníkmi).

Koho zaujíma celé odvodenie, môže si stiahnuť vyTeXovaný článok v PDF formáte, koho len výsledky, označte si myškou čierny text pod týmto riadkom.
[odtiaľ]
minimálny počet: 2n (pri poludníkovom delení, keď všetky rezné roviny zdieľajú jednu priamku, tj. všetky rezné kružnice sa pretínajú v práve dvoch póloch)
maximálny počet: n² - n + 2 (ak žiadne tri rezné roviny nezdieľajú spoločnú priamku, inými slovami, v každom priesečníku dvoch rezných kružníc sa pretínajú práve dve kružnice (nie viac); stačí to rezať zaradom ľubovoľným spôsobom, aby žiaden nový rez neprecházal nejakým už existujúcim priesečníkom)
[potiaľ]