Souborné vydání Rozprav s geometrií
Geometrický svet sa stal pre nás (rovnako ako svet reálny) súčas?ou skutočnosti vlastne v dôsledku toho, že sa neustále snažíme o jeho zámerné vysvetľovanie. Autorovi Petrovi Vopěnkovi ide v texte „Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci“ o objasnenie základných konceptov platónskeho pojatia geometrie, pričom sa opiera o platónsku filozofiu a Euklidove Základy. Pri jeho objasňovaní sa tak ocitáme v troch svetoch, ktoré sú neodmysliteľnou zložkou bytia ako celku, a to v svete reálnom, geometrickom a svete ideí.

Geometrické objekty predstavujú určité javy, ktoré evidujeme v geometrickom svete. Ideami potom nazývame to, čo je možné na danom geometrickom objekte vidie? (napr. úsečka, kružnica, priamos?, krivos? atď.). Samotná idea geometrického objektu musí by? proevidovateľná. To znamená, že jav musíme by? schopní evidova? bez akýchkoľvek predchádzajúcich znalostí a evidencií, akonáhle ho evidova? môžeme, čiže akonáhle nám leží priamo pred očami. Bolo by teda mylné nerobi? rozdiel medzi ideou a vlastnos?ou objektu v dnešnom zmysle. Autor to ilustruje na príklade nečervenosti, ktorá nie je proevidovateľná, kdežto červenos? už proevidovateľná je. Ďalšími príkladmi sú napr. priamos? a krivos?, ktoré predstavujú ideje, narozdiel od nepriamosti a nekrivosti, ktoré ideami nie sú. Pre to, aby sme mohli evidova? nepriamos? a nekrivos? totiž najprv musíme pozna? priamos? a krivos?. Evidova? nejakú ideu musí každý sám. Keďže sú ideje stálé, nemenné a nadčasové, môže by? človek k ich evidencii dovedený predvádzaním rôznych objektov, ktoré majú na danej idei účas?, prípadne opakovaným pripomínaním, až pokiaľ si ideu sám nevybaví. Ideje si teda vybavujeme tak, že si na nich spomíname. Idea môže strati? názov, môže by? zabudnutá, nemôže ale strati? svoje bytie. Z troch spomínaných svetov je svet ideí v platónskom pojatí najvyšším, je reálnemu aj geometrickému svetu nadradený.

Vo svete ideí je jediným vz?ahom medzi ideami účas? jednej ideje na druhej idei. Prítomnos? je vz?ahom k nemu inverzným. Idea kružnice je napríklad bližším určením ideje krivosti. Z dvoch ideí je preto vyššia tá, ktorá je prítomná v druhej idei. Idea prítomnosti je teda vyššia než idea kružnice. Na druhej strane z ideí prítomnosti a krivosti nie je vyššia žiadna. Ideje sú teda touto vzájomnou účas?ou čiastočne hierarchicky zoradené. Úplne najvyššou ideou je potom podľa Platónovho Faidra idea dobra, ktoré tu chápeme v zmlysle „je to dobre urobené“, teda nie ako protipól zla.

Geometrické objekty (ktoré patria do geometrického sveta, rovnako ako ideje patria do sveta ideí) sú vlastne prostredníkom medzi nami a svetom ideí, pretože na samotné ideje nedokážeme nahliada?. Môžeme to robi? iba skrz objekty, v ktorých sú prítomné. Obojstrannos? tohto vz?ahu je daná tým, že práve ideami, na ktorých má účas?, môže by? geometrický objekt určený. Ideami sú určené taktiež reálne objekty, ktoré majú na nich účas?. Prítomnos? ideí je však v reálnych objektoch akosi zatemnená niečím, čo je nazývané látkou, ktorá je chápaná ako nečistota pokrývajúca reálne objekty. V platónskom pojatí je ideálny práve taký objekt, ktorý je čistý, tj. neza?ažený látkou.
Sídlom pravdy je svet ideí a nie reálny svet. Poukazujúc na pravdu, poukazujeme na účas? jednej ideje na druhej. Účas?, tento jediný vz?ah medzi ideami v ich svete, je práve pravda. Pravda ale nie je obsiahnutá v našej výpovedi. Výpoveďou dávame najavo iba to, že sme sa k určitej pravde dopracovali a poukazujeme na ňu. Pomocou našich výpovedí o pravdách môžeme druhému pomôc? na ceste evidencie, evidova? pravdu ale musí každý sám. Dostáva sa k nej tým spôsobom, že odstraňuje všetko, čo mu ju zakrýva. Pravda je nemenná a večná, stále na tom istom mieste a iba v najsvetlejších okamihoch, keď sa nám podarí predra? sa k nej „clonou prázdnoty“ môžeme zahliadnu? jej malú čas?. Vo chvíli plného zaujatia potom zis?ujeme, že sa vlastne zmocnila pravda nás a nie naopak.

Iba znalos? trvalých poznatkov (poznatkov ktoré sa týkajú čistej, nemennej a nezvratnej pravdy) môžeme nazýva? naozajstným vedením, pretože takéto vedenie je isté a spoľahlivé. Platónova filozofia tak umiestnením pravdy do sveta ideí stanovila vede predmet jej štúdia. Týmto jediným predmetom pre všetky vedy je práve svet ideí. Keďže je predmet štúdia iba jeden a pravda taktiež, neexistujú rôzne vedy ale iba veda jediná. Jej úlohou je odkrýva? pravdu vo svete ideí. Zvláštne miesto v takto chápanom pojatí vedy zastáva samotná geometria, ktorej sa podarilo vypracova? postupy na odkývanie právd a vďaka tomu ukázala, že je veda vôbec možná.

Keďže sú v geometrických objektoch prítomné aj také ideje ako napr. krása, rozvážnos?, dobro..., je pre samotnú geometriu potrebné vymedzi? ideje, ktorým budeme hovori? geometrické. Pre to, aby mohla by? idea považovaná za geometrickú, musí by? prítomná v geometrických objektoch a naviac v nej musí by? prítomná idea tvaru alebo veľkosti. Ideje tvaru a veľkosti sú teda najvyššími geometrickými ideami, pričom žiadna z nich nie je vyššia ako druhá.

Dĺžka úsečky je určená úsečkou a nie úsečka dĺžkou. Preto veličiny dĺžky nie sú ideami. Veličiny teda prináležia do geometrického - onoho prostredného sveta medzi svetom ideí a reálnym svetom. Naproti tomu niektoré pomery medzi týmito dĺžkami ideami sú, pretože ich môžeme drža? v úplnej určitosti aj keď sme už tieto samotné veličiny stratili. Takéto pomery sú rôznymi bližšími určeniami ideje pomeru. Ideami sú predovšetkým pomery, ktoré sa vyskytujú medzi prirodzenými číslami, pomer dĺžky uhlopriečky a strany štvorca, alebo pomer zlatého rezu. Idea pomeru má účas? na idei veľkosti, pretože jeden pomer môže by? väčší než druhý. Na idei veľkosti má taktiež účas? idea uhlu. Niektoré veľkosti uhlov však na rozdiel od dĺžok úsečiek ideami sú. Takýmto uhlom je napr. pravý uhol, na čo upozornil i Eukleidés. Vo svojom štvrtom postuláte uvádza, že všetky pravé uhly sú si navzájom rovné. Ideje priamosti a krivosti patria k najzaujímavejším geometrickým ideám, ktoré majú účas? na idei tvaru. Na rozdiel od ideje priamosti však je v idei krivosti prítomná aj idea veľkosti. Z dvoch kružníc je teda viac krivá tá, ktorá má menší polomer. V priestorovej geometrii je vedľa ideje krivosti ešte prítomná idea krútenia. Tá bola rozpracovaná planimetriou ktorá predstavovala jadro antickej geometrie.

Platónova filozofia bola schopná obsiahnu? a rozšíri? pythagorejský ideál krásy, a vlastne iba z nej môžeme dnes tento ideál pochopi?. Geometrický objekt je tým dokonalejší, čím lepšie môžeme skrze neho nahliadnu? k čo možno najvyšším ideám. Čím je objekt dokonalejší, tým je tiež krásnejší. Čím priezračnejšie máme pred sebou ideje predostreté, tým viac z nich totiž vystupujú tie „nadnebeské“. Až potom môžeme poveda?, že je štvorec dokonalejší ako obdĺžnik, pretože vo štvorci je neurčitá iba dĺžka jednej strany, kdežto v obdĺžniku sú neurčité dĺžky dve. Z hľadiska tvaru sú najdokonalejšie objekty, v ktorých je prítomná iba jedna z ideí priamosti a krivosti, a v prípade krivosti len v jednej veľkosti. Vôbec najdokonalejším geometrickým objektom je bod. Ten je najbližšie svetu ideí, pretože v ňom nie je nič neurčité. Ako v každom geometrickom objekte je v ňom prítomná idea tvaru. Nie je v ňom však prítomná ani idea priamosti, ani krivosti. Je v ňom prítomná idea veľkosti, nie však ako veličina. K najdokonalejším objektom v priestorovej geometrii patrí guľa, ale tiež kocka a vôbec pravidelné mnohosteny. Dokonalé a krásne ale môžu by? aj niektoré pomery. Z tohto hľadiska je pozoruhodným pomer zlatého rezu. Ten je síce bližším určením ideje pomeru, ale sám je určený iba touto ideou najjednoduchším z možných spôsobov a dokonca bez použitia čísel.

Pri geometrických objektoch evidujeme ale aj ich úhrnnú ideu. Je to idea úhrnu všetkého určitého, čo je v tomto objekte prítomné. Je to idea zachycujúca všetku určitos? celku. Celok je pri tom chápaný ako skĺbenie všetkých svojich podrobností, pričom celku prináležia rovnako skryté podrobnosti. Úhrnná ide je idea, a teda je celkom určitá. Nie je to celok pozorovaného objektu, ale je to celok všetkého určitého, čo je v ňom prítomné. Každá idea prítomná v tomto objekte je prítomná aj v jeho úhrnnej idei. Preto je úhrnná idea najnižšou ideou, ktorá je v objekte prítomná. Ak evidujeme prítomnos? nejakej ideje v nejakom geometrickom objekte, potom zároveň evidujeme prítomnos? tejto ideje v úhrnnej idei tohto objektu, teda istú dielčiu pravdu. Práve týmto spôsobom nám geometrické objekty najúčinnejšie slúžia k odkrývaniu právd.

Predtým, ako vôbec môžeme evidova? nejaké geometrické pravdy, musíme najprv vidie?. Najprv teda musíme nejaký objekt vynori? z prázdnoty. Táto prázdnota je prekážkou, ktorú musíme odstráni? pri našej ceste za geometrickými objektami, teda pri našej ceste za pravdou. Prítomnos? nejakej ideje v danom geometrickom objekte, čiže tiež v jeho úhrnnej idei, evidujeme cestou podľa priamych pokynov vtedy, ak sa k tejto evidencii dopracujeme krok za krokom vždy podľa nejakého priameho pokynu, pričom vychádzame z právd, ktoré sme evidovali už pred započatím tejto cesty. Pri odkrývaní skrytých právd na geometrických objektoch postupujeme tak, že daný objekt vhodným spôsobom rozšírime do objektu obsiahlejšieho, tj. vytvoríme nejaký obsiahlejší objekt. Skrytá pravda sa nám tým vyjaví buď už ako pravda evidentná, alebo evidovateľná cestou podľa priamych pokynov na tomto obsiahlejšom objekte. Spomínané vynáranie geometrických objektov z prázdnoty obvykle prevádzame so zámerom dosiahnu? určitý vopred stanovený cieľ. Pritom môžeme, alebo nemusíme by? úspešní – nie každý cieľ vieme dosiahnú?.

Nemáme žiadne záruky, že to, čo eviduje jeden, bude schopný evidova? aj druhý. Tieto záruky ale nemáme ani v reálnom svete. Niekto skrátka vidí lepšie a niekto horšie. Jediné, čo sa dá v tomto smere podnika?, je snaži? sa vidie? dobre. Úžasné na samotnom prístupe Platóna je, že nám nevnucuje žiadne predpoklady. Ukazuje iba, čo môžeme vidie?, keď sa budeme díva? určitým spôsobom. Táto nepredpojatos? Platónovej filozofie sa tak stáva vzorom pre ostatné filozofické smery a geometrický svet, ktorý nepochybne stál pri zrode Platónovej filozofie, má pre európsku filozofiu mimoriadny význam.